Question

已知函數f（x）=

[sin(π+x)- 3 cosx]sin2x

2cos(π-x)

-

1

2

．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）當x∈(0，

π

2

)時，求f（x）的最大值，并求此時對應的x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡函數解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

），由正弦函數的圖象和性質可求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）先求2x-

π

6

的范圍，可得sin（2x-

π

6

）的取值范圍，即可求f（x）的最大值，并求出此時對應的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=

(sinx+ 3 cosx)2sinxcosx

2cosx

-

1

2

=sin²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）…3分
周期T=π，
因為cosx≠0，所以{x|x≠

π

2

+kπ，k∈Z}…5分
當2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，即

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，x≠

π

2

+kπ，k∈Z時函數f（x）單調遞減，
所以函數f（x）的單調遞減區間為[

π

3

+kπ，

π

2

+kπ]，[

π

2

+kπ，

5π

6

+kπ]，k∈Z…7分
（2）當x∈(0，

π

2

)，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…9分
sin（2x-

π

6

）∈（-

1

2

，1），當x=

π

3

時取最大值，
故當x=

π

3

時函數f（x）取最大值為1…12分

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，三角函數最值的解法，屬于基礎題．