Question

【題目】設，函數，函數.

（1）當時，求函數的零點個數；

（2）若函數與函數的圖象分別位于直線的兩側，求的取值集合；

（3）對于，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）當n=1時，f（x）=，f′（x）=（x＞0），確定函數的單調性，即可求函數y=f（x）的零點個數；

（2）若函數y=f（x）與函數y=g（x）的圖象分別位于直線y=1的兩側，n∈N*，函數f（x）有最大值f（）=＜1，即f（x）在直線l：y=1的上方，可得g（n）=＞1求n的取值集合A；

（3）x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣g（x2）|的最小值等價于，發布網球場相應的函數值，比較大小，即可求|f（x1）﹣g（x2）|的最小值．

（1）當時，，.

由得；由得.

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

因為，，

所以函數在上存在一個零點；

當時，恒成立，

所以函數在上不存在零點.

綜上得函數在上存在唯一一個零點.

（2）由函數求導，得，

由，得；由，得，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

則當時，函數有最大值；

由函數求導，得，

由得；由得.

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

則當時，函數有最小值；

因為，函數的最大值，

即函數在直線的下方，

故函數在直線：的上方，

所以，解得.

所以的取值集合為.

（3）對，的最小值等價于，

當時，；

當時，；

因為，

所以的最小值為.