Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，|an+1﹣an|=pn ， n∈N* ．
（1）若{an}是遞增數列，且a1 ， 2a2 ， 3a3成等差數列，求p的值；
（2）若p= ，且{a2n﹣1}是遞增數列，{a2n}是遞減數列，求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列{an}是遞增數列，∴an+1﹣an＞0，

則|an+1﹣an|=pn化為：an+1﹣an=pn，

分別令n=1，2可得，a2﹣a1=p， ，

即a2=1+p， ，

∵a1，2a2，3a3成等差數列，∴4a2=a1+3a3，

即4（1+p）=1+3（p2+p+1），

化簡得3p2﹣p=0，解得 或0，

當p=0時，數列an為常數數列，不符合數列{an}是遞增數列，

∴ ；

（2）解：由題意可得，|an+1﹣an|= ，

則|a2n﹣a2n﹣1|= ，|a2n+2﹣a2n+1|= ，

∵數列{a2n﹣1}是遞增數列，且{a2n}是遞減數列，

∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，

則﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，兩不等式相加得

a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，

又∵|a2n﹣a2n﹣1|= ＞|a2n+2﹣a2n+1|= ，

∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即 ，

同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，

則a2n+1﹣a2n=

當數列{an}的項數為偶數時，令n=2m（m∈N*），

， ， ，…， ，

這2m﹣1個等式相加可得，

= = ，

則 ；

當數列{an}的項數為奇數時，令n=2m+1（m∈N*）

， ， ，…， ，

這2m個等式相加可得，

= ﹣ = ，

則 ，且當m=0時a1=1符合，

故 ，

綜上得，

【解析】（1）根據條件去掉式子的絕對值，分別令n=1，2代入求出a2和a3 ， 再由等差中項的性質列出關于p的方程求解，利用“{an}是遞增數列”對求出的p的值取舍；（2）根據數列的單調性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出 和a2n+1﹣a2n= ，再對數列{an}的項數分類討論，利用累加法和等比數列前n項和公式，求出數列{an}的奇數項、偶數項對應的通項公式，再用分段函數的形式表示出來．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．