Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，且，若，時，有成立．

（1）判斷在上的單調性，并證明；

（2）解不等式：；

（3）若對所有的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，證明見解析；（2）；（3）或或．

【解析】

試題分析：（1）由單調性和奇偶性的定義可得,可證在上單調遞增；（2）由（1）得,再由定義域解得的取值范圍；（3）由（1）可得 在有最大值,不等式轉化為對恒成立,令,分類討論:可得結論．

試題解析： （1）任取，且，則

∵為奇函數，∴

由已知，又，

∴，即．

∴在上單調遞增．

（2）∵在上單調遞增．

∴，∴

故原不等式的解集為．

（3）∵，在上單調遞增．

∴在上，，

問題轉化為，

即對恒成立，

設，

①若，則，對恒成立，

②若，則為的一次函數，

若對恒成立，

必須，且，∴或

綜上，實數的取值范圍是或或．