Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的最值；

（2）求函數的單調區間；

（3）試說明是否存在實數使的圖象與無公共點.

Answer 1

【答案】(1)最小值為 ；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

（1）利用導數研究函數單調性，再根據單調性確定函數最值，（2）先求導數，再根據導函數零點分類討論，最后根據導函數符號確定單調性，（3）先求函數最小值，再利用導數求最小值的最大值，最后與比較大小即得結果.

（1）函數的定義域是.

當時，，所以在為減函數，

在為增函數，所以函數的最小值為.

（2），

若時，則，在恒成立，所以的增區間為.

若，則，故當，，

當時，，

所以時的減區間為，的增區間為.

（3）時，由（2）知在的最小值為，

令，

則，所以在上單調遞減，

所以，則，

因此存在實數使的最小值大于，

故存在實數使的圖象與無公共點.