Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，且圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0過A，F₂兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線BC過坐標原點，與橢圓E相交于B，C，點Q為橢圓E上的一點，若直線QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不為0，求證：k_QB•k_QC為定值；
（3）設直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當β-α=

2π

3

時，證明：點P在一定圓上．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）根據關于原點對稱的點的特點及點Q在橢圓上即可證明；
（3）利用兩角差的正切公式及斜率公式即可證明．

解答：解：（1）由圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0，令y=0，化為x2+

3

x-6=0，解得x=2

3

或

3

，
∴A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，∴a=2

3

，c=

3

，∴b2=(2

3

)2-(

3

)2=9．
∴橢圓E的方程為

x2

12

+

y2

9

=1；
（2）由于點B、C是直線與橢圓的兩交點，∴B、C兩點關于原點對稱，設B（m，n），則C（-m，-n）．
設Q（x，y）．由于點B、Q在橢圓上，則

m2

12

+

n2

9

=1，

x2

12

+

y2

9

=1；
兩式相減得

x2-m2

12

+

y2-n2

9

=0，即

y2-n2

x2-m2

=-

3

4

．
∴k_QC•k_QB=

y+n

x+m

•

y-n

y-m

=

y2-n2

x2-m2

=-

3

4

，
∴kQB•kQC=-

3

4

．
（3）設P（x，y），∵F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
∵β-α=

2π

3

，∴tan（β-α）=-

3

，
∴

y x+ 3 - y x- 3

1+ y x+ 3 × y x- 3

=-

3

，化為x²+y²-2y=3，即x²+（y-1）²=4．
∴點P在定圓x²+（y-1）²=4上．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義、關于原點對稱的點的特點、斜率的計算公式及兩角差的正切公式、圓的方程是解題的關鍵．