Question

【題目】已知函數在處取得極值.

（1）求的值；

（2）若對任意的，都有成立（其中是函數的導函數），求實數的最小值；

（3）證明：（）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導，利用導數的意義即可求解；（2）求導，對的取值分類討論即可求解；（3）利用（2）中的結論構造不等式，累加即可求解.

試題解析：（1）由題設可得，∵在處取得極值，

∴，即，解得，，經檢驗知，，滿足題設條件；

（2）由（1）得，∴，∴在上恒成立，即在上恒成立，設，則，

，，設，

①當，即時，，∴，在上單調遞增，

∴，即當時，滿足題設條件，

②當，即時，設，是方程的兩個實根，且，

由可知，由題設可知，當且僅當，即，即，即時，對任意的有，即在上恒成立，∴在上單調遞增，

∴，∴時，也滿足題設條件，綜上，的取值范圍為，∴實數的最小值為；（3）證明：由（2）知，當時，，即在上恒成立（當且僅當時取等號）.令（），得，

∴當且時，

當時，原不等式顯然成立，∴原不等式得證.