Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)y＝x2－2x—3與兩條坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)都在圓C上．若圓C與直線(xiàn)x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若 （O為原點(diǎn)），求a的值．

Answer 1

【答案】. （1）(x－1)2＋(y+1)2＝5.（2）a＝-4

【解析】

（1）先求出曲線(xiàn)y＝x2－2x—3與兩條坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓C的圓心為(1，t)，求出t的值和圓的半徑，由此能求出圓C的方程.

（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，根據(jù)一元二次方程判別式和韋達(dá)定理，以及，即可求出a 的值.

解：(1)曲線(xiàn)y＝x2－2x—3與y軸的交點(diǎn)為(0,-3)，與x軸的交點(diǎn)為(-1，0)，(3，0)．

故可設(shè)圓C的圓心為(1，t)，則有12＋(t+3)2＝(1+1)2＋t2，解得t＝.

則圓C的半徑為.

則以圓C的方程為(x－1)2＋(y+1)2＝5.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

其坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組：消去y，得到方程2x2＋2ax＋a2+2a-3＝0.

Δ＝24－16a－4a2>0，且x1＋x2＝－a，x1x2＝.①

由可得x1x2＋y1y2＝5，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝5.②

由①，②得a＝-4或a=2 ,

因?yàn)闈M(mǎn)足Δ>0，故a＝-4