Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點P在邊AB上，設 =λ （λ＞0），過點P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求證：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正實數λ，使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵FC∥PE，FC平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．

∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．

同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，從而B'F∥平面A'PE．

∴平面B'CF∥平面A'PE，從而B'C∥平面A'PE；

（2）解：存在正實數λ= ，使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°．

事實上，以C為原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖．

∵AC=BC=a，且 =λ （λ＞0），

∴C（0，0，0），A′（0， ， ），B′（ ，0， ），P（ ， ，0）．

∴ =（0， ， ）， =（ ，﹣ ， ）， =（0， ，﹣ ）．

平面CA'B'的一個法向量 =（ ，λ，﹣1），平面PA'B'的一個法向量 =（1，1，1）．

由 = =cos60°= ，

化簡得 ﹣8λ+9=0，解得λ= ．

∴存在正實數λ= ，使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°．

【解析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明FC∥平面A'PE．再利用線面垂直的性質定理即可證明B′F∥A′E，進而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到 平面B'CF∥平面A'PE，從而得到線面平行；（2）通過建立空間直角坐標系，由已知結合 =λ （λ＞0）求得所用點的坐標，把二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°轉化為兩個平面的法向量的夾角列式求得λ的值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．