Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），且a＞0，b＞0．
（1）若點A，B，C在直線L上，求u=

1

a

+

2

b

的最小值，并求此時直線L的方程；
（2）若以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長相等，且

OA

•（

AB

-

AC

）=5 求a，b的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)若A，B，C在直線L上，利用向量共線可以得到a，b的一個方程，u的最小值可以利用基本不等式求解，等號成立的條件又可得到一個a，b的方程，聯(lián)立可求出a，b，進而利用兩點式寫出直線L的方程；
（2）由條件得AB⊥AC，利用向量的內(nèi)積為0可得到a，b的一個方程，再利用

OA

•（

AB

-

AC

）=5，代入坐標(biāo)得到一個關(guān)于a，b的方程，聯(lián)立可解出a，b．

解答： 解：（1）若A，B，C在直線L上，
∵

AB

=(a-1，1)，

AC

=(-b-1，2)
∴（a-1）×2-（-b-1）×1=0
即2a+b=1，
∵a＞0，b＞0，u=

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）×（2a+b）=

b

a

+

4a

b

+4≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

時等號成立，即2a=b，
∵2a+b=1，∴a=

1

4

，b=

1

2

∴u的最小值為8，
∴由兩點式得：

y-(-2)

0-(-2)

=

x-1

- 1 2 -1

，整理得：4x+3y+2=0．
∴直線L的方程為：4x+3y+2=0．
（2）由條件得AB⊥AC，所以

AB

•

AC

=0，
而

AB

=(a-1，1)，

AC

=(-b-1，2)
∴ab+a-b-3=0，-----------①
又

OA

•(

AB

-

AC

)=5，∴a+b-3=0，------②
由①②得，a=2，b=1或a=3，b=0（舍去）
∴a=2，b=1．

點評：本題考查了向量的運算及應(yīng)用，以及求最值的方法，主要考查了方程思想，根據(jù)條件運用向量的坐標(biāo)運算構(gòu)建方程組是解決本題的關(guān)鍵．