Question

【題目】如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，2AE=BD=2．
（Ⅰ）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥面DBC；
（Ⅱ）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BC的中點G，連接FG，AG，
∵AG⊥BC，AG⊥BD，BD∩BC=B，
∴AG⊥面DBC，
又∵AE∥BD∥FG，AE=FG，
∴AGFE為平行四邊形，
∴EF∥AG，∴EF⊥面DBC．
解：（Ⅱ）連接BF，過F在面DEC內作EC的垂線，垂足為H
連接HB．∵EF⊥面DBC，∴BF⊥EF，
又∵BC=BD，∴BF⊥CD，∴BF⊥面EDC，
∴∠FHB為二面角D﹣EC﹣B的平面角，
在△DEC中，∵ ，∴ ，
在直角△BFH中， ， ， ，
∴cos∠FHB= = ．
∴二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BC的中點G，連接FG，AG，推導出AG⊥面DBC，AGFE為平行四邊形，由此能證明EF⊥面DBC．（Ⅱ）連接BF，過F在面DEC內作EC的垂線，垂足為H，連接HB，則∠FHB為二面角D﹣EC﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．