Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且橢圓 過點 ，直線 過橢圓 的右焦點 且與橢圓 交于 兩點.
(Ⅰ)求橢圓 的標準方程；
(Ⅱ)已知點 ，求證：若圓 與直線 相切，則圓 與直線 也相切.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓C的焦距為2c(c>0)，依題意，
解得 ，c=1，故橢圓C的標準方程為 ；
（Ⅱ）證明：當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為 ，M ， N兩點關于x軸對稱，點P（4,0）在x軸上，所以直線PM與直線PN關于x軸對稱，所以點O到直線PM與直線PN的距離相等，故若圓 與直線PM相切，則也會與直線PN相切；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為 ， ， ，
由 得：
所以 ， ，
， ，

，
所以， ，于是點O到直線PM與直線的距離PN相等，
故若圓 與直線PM相切，則也會與直線PN相切；
綜上所述，若圓 與直線PM相切，則圓 與直線PN也相切
【解析】(1)利用已知條件列出關于a、b的方程組，即可得到橢圓C的標準方程。(2)根據題意對直線的斜率分類討論，若圓與直線相切等價于kPM+kPN=0聯立方程借助韋達定理即可證明等式即可。
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．