Question

已知向量

a

=(0，-1)，

b

=(

1

2

，1)，直線l經過定點A（0，3）且以

a

+2

b

為方向向量．又圓C的方程為（x-m）²+（y-2）²=4（m＞0）．
（1）求直線l的方程；
（2）當直線l被圓C截得的弦長為2

3

時，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標求出

a

+2

b

的坐標，再由A坐標，表示出直線l方程即可；
（2）由圓的方程找出圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，再由弦長，利用垂徑定理及勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）∵

a

=（0，-1），

b

=（

1

2

，1），
∴

a

+2

b

=（1，1），
∵直線l經過定點A（0，3），
∴直線l的點方向式方程為

x

1

=

y-3

1

，即x-y+3=0；
（2）∵圓心（m，2）到直線x-y+3=0的距離d=

|m-2+3|

2

，r=2，弦長為2

3

，
∴（

|m-2+3|

2

）²+3=4，
解得：m=

2

-1或m=-

2

-1（舍去），
則實數m的值為

2

-1．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，平面向量的數量積運算，點到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握法則及定理是解本題的關鍵．