Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且AD=2，NB=1，CD=MD=3．

（1）過B作平面BFG∥平面MNC，平面BFG與CD、DM分別交于F、G，求AF與平面MNC所成角的正弦值；
（2）E為直線MN上一點，且平面ADE⊥平面MNC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當CF=MG=1時，平面BFG∥平面MNC．

證明：連接BF，FG，GB，∵BN=GM=1，BN∥GM，∴四邊形BNMG是平行四邊形，∴BG∥NM，∵CD=MD，CF=MG，∴FG∥CM，∵BG∩FG=G，∴平面BFG∥平面MNC，

以D為原點，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖），則A（2，0，0），C（0，3，0），F（0，2，0），M（0，0，3），N（2，3，1），∴ =（﹣2，2，0）， =（2，3，﹣2）， =（0，3，﹣3），

設平面MNC的一個法向量 =（x，y，z），

則 令y=2，則z=2，x=﹣1，∴ =（﹣1，2，2），

設AF與平面MNC所成角為θ，則

（2）解：設E（a，b，c）， ，則 =λ ，

∵ =（a，b，c﹣3）， =（2，3，﹣2），∴點E的坐標為（2λ，3λ，3﹣2λ），

∵AD⊥平面MDC，∴AD⊥MC，

欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，

∵ =（2λ﹣2，3λ，3﹣2λ）， =（0，3，﹣3），∴9λ﹣3（3﹣2λ）=0，得 ，∴ ．

【解析】（1）先分析所給的條件，進而建立合適的空間直角坐標系，再利用向量法求AF與平面MNC所成角的正弦值；（2）根據“欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC”的依據是：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.
【考點精析】利用平面與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．