Question

【題目】如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.

（1）證明：平面；

（2）若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連結BM，推導出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．

（2）推導出△ABA1是等腰直角三角形，設AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．

（1）如圖1，在三棱柱中，連結，因為是矩形，

所以，因為，所以，

又因為，，所以平面，

所以，又因為，所以是中點，

取中點，連結，，因為是的中點，則且，

所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，

又因為平面，平面，所以平面.

（圖1） （圖2）

（2）因為，所以是等腰直角三角形，設，

則，.在中，，所以.

在中，，所以，

由（1）知，則，，如圖2，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，

則，，.

所以，則，，

設平面的法向量為，

則即

取得.故平面的一個法向量為，

因為平面的一個法向量為，

則.

因為二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.