Question

設函數，f（x）=sin（2ωx+φ）在（ω＞0，-π＜φ＜0]，函數y=f（x）的相鄰兩條對稱軸間距離為π，且函數的圖象的一個對稱中心為（-

π

2

，0）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=-

2 5

5

，f（B）=-

3 10

10

，求：角C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數y=f（x）的相鄰兩條對稱軸間距離為π，求出函數周期，得到ω，函數的圖象的一個對稱中心為（-

π

2

，0）．求出φ，然后求出函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，通過f（A）=-

2 5

5

，求出cosA，sinA，f（B）=-

3 10

10

，求出cosB，sinB，利用cosC=cos[π-A-B]求出cosC，根據C的范圍求角C的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵函數y=f（x）的相鄰兩條對稱軸間距離為π，
∴T=

2π

2ω

=2π，ω=

1

2

，
又 函數的圖象的一個對稱中心為（-

π

2

，0）
∴sin（-

π

2

+φ）=0  而-π＜φ＜0
∴φ=-

π

2

．
所以函數y=f（x）的解析式為y=sin（x-

π

2

）=-cosx
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

，又A，B∈（0，π），
所以，sinA=

5

5

，sinB=

10

10

，
cosC=cos[π-A-B]=cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）
=-(

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

)=-

2

2

，
又C∈（0，π），∴C=

3π

4

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的解析式的求法，注意周期的應用，兩角和的余弦公式的應用，同時注意C的范圍，以及角的變換的技巧，是解題的關鍵，考查計算能力．