Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）在點的切線方程為.

（1）求實數的值；

（2）若關于的不等式對于任意恒成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）計算的導數，根據，也在切線上，列出方程組求解；

（2）構造函數，判斷的單調性，求出的最小值，而的值無法直接計算出來，所以根據零點存在定理，確定的范圍，再根據，得到一個等式轉化的關系，從而確定的范圍，最后確定整數的最大值.

（1）令，則，

得：，，

由題得：

（2）根據題意，要證不等式對于任意恒成立，

即證時，的最小值大于，

令，

記，

當時，；當時，，

故即在上單調遞減，在上單調遞增，

又，，且，，

故存在唯一，使，

故當時，；當時，；

故在上單調遞減，在上單調遞增，

所以

一方面：

另一方面：由，即，

得

由得：，進而，

所以 ，又因為是整數，所以，即.