Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： 的離心率 ，且橢圓C上的點到點Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得a2=3b2，橢圓方程為x2+3y2=3b2

橢圓上的點到點Q的距離 =

①當﹣b≤﹣1時，即b≥1， 得b=1

②當﹣b＞﹣1時，即b＜1， 得b=1（舍）

∴b=1

∴橢圓方程為

（2）解：假設M（m，n）存在，則有m2+n2＞1

∵|AB|= ，點O到直線l距離

∴ =

∵m2+n2＞1

∴0＜ ＜1，∴

當且僅當 ，即m2+n2=2＞1時，S△AOB取最大值 ，

又∵

解得：

所以點M的坐標為 或 或 或 ，△AOB的面積為 ．

【解析】（1）由 得a2=3b2 ， 橢圓方程為x2+3y2=3b2 ， 求出橢圓上的點到點Q的距離，利用配方法，確定函數的最大值，即可求得橢圓方程；（2）假設M（m，n）存在，則有m2+n2＞1，求出|AB|，點O到直線l距離，表示出面積，利用基本不等式，即可確定三角形面積的最大值，從而可求點M的坐標．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．