Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點為F，不垂直x軸且不過F點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l經過點P（2，0），則直線FA、FB的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）如果FA⊥FB，原點到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）直線l的方程為y=k（x﹣2），
聯立方程組 ，消元得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則x1+x2= ，x1x2= ，
又F（1，0），∴kFA= = ，kFB= = ，
∴kFA+kFB= + = ，
又2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=2k ﹣3k +4k= =0，
∴kFA+kFB=0，
即直線FA、FB的斜率之和是定值0．
（II）設直線l的方程為y=kx+b，
聯立方程組 ，消去y得（1+2k2）x2+4kbx+2（b2﹣1）=0，
∴△=16k2b2﹣8（1+2k2）（b2﹣1）=8（2k2+1﹣b2）＞0，
設A（x3 ， y3），B（x4 ， y4），則x3+x4= ，x3x4= ，
∴kFA= = ，kFB= = ，
若FA⊥FB，則 =﹣1，
即（k2+1）x3x4+（kb﹣1）（x3+x4）+b2+1=0，
∴（k2+1） +（kb﹣1） +b2+1=0，
化簡得3b2+4kb﹣1=0，即k= ，
代入判別式得△=b4+2b2+1＞0恒成立，
∴d= = = ，
∵ + +9＞9，
∴d＜ = ．
∴d的取值范圍是（0，9）
【解析】（I）聯立方程組，根據根與系數的關系得出A，B兩點坐標的關系，表示出直線AF，BF的斜率，計算斜率之和作出判斷；（II）設直線l的方程為y=kx+b，聯立方程組，根據根與系數的關系得出A，B兩點坐標的關系，表示出直線AF，BF的斜率，令斜率之積為﹣1得出k，b的關系，代入距離公式得出d與b的關系，根據判別式得出b的范圍，從而得出d的范圍．