Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的最小值為8，求實數(shù)a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)進行分類討論求解；

（Ⅱ）先求的零點，結(jié)合二次方程根的分布情況可得實數(shù)a的取值范圍．

（Ⅰ）函數(shù)，

令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），則h（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值為8，函數(shù)h（t）的對稱軸為t＝a，

①當(dāng)a≥2時，，此時；

②當(dāng)a≤﹣2時，，此時；

③當(dāng)﹣2＜a＜0時，，此時無解；

④當(dāng)0≤a＜2時，＝h（2）＝2a2﹣4a+2＝8，此時無解；

故實數(shù)a的值為.

（Ⅱ）令g（x）＝0，則f（x）＝8，

則由題意，方程t2﹣2at+2a2﹣2＝8，即t2﹣2at+2a2﹣10＝0必有兩根，且一根小于﹣2，另一根大于2，

則，解得﹣1＜a＜1．

故實數(shù)a的取值范圍為．