Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝mx3+x﹣sinx（m∈R）．

（1）當(dāng)m＝0時(shí)，（i）求y＝f（x）在（，f（））處的切線(xiàn)方程；

（ii）證明：f（x）＜ex；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（i）（ii）見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)(i) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)斜率，由點(diǎn)斜式即可得結(jié)果；(ii ) 當(dāng)時(shí)，原命題等價(jià)于，結(jié)合，即證，令，利用異數(shù)研究其單調(diào)性，可得，從而可得結(jié)論；(2)依題意在上恒成立，令，求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可，通過(guò)對(duì)分類(lèi)討論，即可篩選出符合題意的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，.

（i）,,

,

在處的切線(xiàn)方程為 ，

即.

（ii）原命題等價(jià)于，

，即證，

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

，

，取等號(hào)條件不一致，

，

.

（2）依題意，在時(shí)恒成立，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，.

（i）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

，即，符合題意.

（ii）當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.

（iii）當(dāng)時(shí)，令，則，

由，

，

，使，

所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，即，不符合題意，舍去，

故.