Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若g(x)= +在1，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，+∞)， 的單調(diào)遞減區(qū)間是(0， 1).

（Ⅱ）實(shí)數(shù)a的取值范圍0，+∞)

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意得，分函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)與單調(diào)減函數(shù)討論，即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍

試題解析：(1)由已知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)．

當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝2x－＝，

則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，所以(0,1)為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，(1，＋∞)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．

(2)由題意得g′(x)＝2x＋－，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)．

(ⅰ)若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，

則g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，

設(shè)φ(x)＝－2x2，因?yàn)?/span>φ(x)在[1，＋∞]上單調(diào)遞減，

所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.

(ⅱ)若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)減函數(shù)，則g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞)．