【題目】已知函數(shù)
，
，其中
.
（1）求函數(shù)
在
的值域；
（2）用
表示實(shí)數(shù)
，
的最大值，記函數(shù)
，討論函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）
；（2）見(jiàn)解析.
【解析】
（1）求導(dǎo)得到
，討論
和
得到函數(shù)
在
單調(diào)遞增，計(jì)算得到答案.
（2）時(shí)，
恒成立，當(dāng)
時(shí)，
恒成立，故
的零點(diǎn)即為函數(shù)
的零點(diǎn)，討論在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到答案.
（1）
當(dāng)時(shí)，
，
，所以
當(dāng)時(shí)，
，
，所以
所以：當(dāng)
時(shí)，成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增
所以函數(shù)在的值域?yàn)?/span>
，即值域?yàn)?/span>
.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
由（1）得，函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，
，又
，
所以時(shí)，恒成立，即時(shí)，
無(wú)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)
下面討論函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
，所以
Ⅰ、當(dāng)
時(shí)，因?yàn)?/span>，
又函數(shù)
在區(qū)間
遞減，所以
即當(dāng)時(shí)，
，
所以
單調(diào)遞減，由
得：當(dāng)
時(shí)
，遞增
當(dāng)
時(shí)
，遞減
當(dāng)
時(shí)
，
，當(dāng)
時(shí)
又
，
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；
Ⅱ、當(dāng)
時(shí)，
，由Ⅰ得：當(dāng)時(shí)，，遞增，
當(dāng)時(shí)，，遞減，所以
，
，
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
Ⅲ、當(dāng)
時(shí)，
，
，即
成立，由，
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)
綜上所述：當(dāng)
或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)
或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某地?cái)M建造一座體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖所示：曲線
是以點(diǎn)
為圓心的圓的一部分，其中
，
是圓的切線，且
，曲線
是拋物線
的一部分，
，且
恰好等于圓的半徑.
（1）若
米，
米，求
與
的值；
（2）若體育館側(cè)面的最大寬度
不超過(guò)75米，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，直線
平面
，四邊形是正方形，且
，點(diǎn)
，
，
分別是線段
，
，
的中點(diǎn).
(1)求異面直線
與
所成角的大小(結(jié)果用反三角表示)；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)
，使
，若存在，求出
的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】若
(1)當(dāng)
時(shí),設(shè)
所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長(zhǎng)度為
(閉區(qū)間
的長(zhǎng)度為
),試求的最大值；
(2)是否存在這樣的
使得當(dāng)
時(shí),?若存在,求出
的取值范圍；若不存在,說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】下圖為函數(shù)
的部分圖象，
、
是它與
軸的兩個(gè)交點(diǎn)，
、
分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，
是線段
的中點(diǎn)，且
為等腰直角三角形.
（1）求
的解析式；
（2）將函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，再向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度得到
的圖象，求的解析式及單調(diào)增區(qū)間，對(duì)稱中心.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
平面ABCD，
，點(diǎn)E，F為PC，PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；
（2）二面角E—BD—F的大小；
（3）設(shè)點(diǎn)M在PB(端點(diǎn)除外)上,試判斷CM與平面BDF是否平行，并說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）求函數(shù)
的最小正周期；
（2）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
分別為
的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其面積
，在等差數(shù)列
中，
，公差
．?dāng)?shù)列
的前n項(xiàng)和為
，且
．
（1）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（2）若
，求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于
兩點(diǎn)，若點(diǎn)
的直角坐標(biāo)為
，試求當(dāng)
時(shí)，
的值.
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