Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）若PA=AB=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能證明AE⊥平面PAD，從而得到AE⊥PD．
（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，
∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴AE⊥PA，
∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）解：由（1）知AE、AD、AP兩兩垂直，
∴以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵E，F分別為BC，PC的中點，PA=AB=2，
∴A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（

3

，0，0），F（

3

2

，

1

2

，1），
∴

AE

=(

3

，0，0)，

AF

=(

3

2

，

1

2

，1)，
設平面AEF的一個法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AE = 3 x1=0 m • AF = 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

取z₁=-1，得

m

=（0，2，-1），
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，
∴

BD

為平面AFC的一法向量．
又

BD

=(-

3

，3，0)，
∴cos＜

m

，

BD

＞=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
∵二面角E-AF-C為銳角，
∴所求二面角的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．