Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點．求證：
（1）直線BD₁∥平面PAC；
（2）平面BDD₁⊥平面PAC；
（3）直線PB₁⊥平面PAC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結BD，AC交于O，連結OP，由四邊形ABCD為平行四邊形，推斷出OD=OB，又P為DD₁的中點，可知OP∥BD₁，最后利用線面平行的判定定理推斷出BD₁∥平面PAC．
（2）由AB=AD，O為BD的中點，推斷出AC⊥BD，進而根據DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，推斷出DD₁⊥BD，利用線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面BDD₁，進而根據面面垂直的判定定理證明出平面BDD₁⊥平面PAC；
（3）連結C₁P，B₁C，分別求得PC₁，PB₁，B₁C，進而知B₁C²=B₁P²+CP²，推斷出∠CPB₁=90°，即PB₁⊥BC，由AC⊥平面BDD₁，PB₁?平面BDD₁，推斷出AC⊥PB₁，根據線面垂直的判定定理知PB₁⊥平面PAC．

解答： 證明：（1）連結BD，AC交于O，連結OP，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OD=OB，
∵P為DD₁的中點，
∴OP∥BD₁，
∵OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
∴BD₁∥平面PAC．
（2）∵AB=AD，O為BD的中點，
∴AC⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴DD₁⊥BD，
∵DD₁∩DB=D，DD₁?平面BDD₁，DB?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵AC?平面APC，
∴平面BDD₁⊥平面PAC；
（3）連結C₁P，B₁C，
在Rt△DC₁P中，PC₁=

1+1

=

2

在Rt△B₁C₁P中，PB₁=

P C 2 1 +B1 C 2 1

=

3

，
在Rt△B₁C₁C中，B₁C=

4+1

=

5

，
∴B₁C²=B₁P²+CP²，
∴∠CPB₁=90°，即PB₁⊥PC，
∵AC⊥平面BDD₁，PB₁?平面BDD₁，
∴AC⊥PB₁，
∵AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，
∴PB₁⊥平面PAC．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應用．考查了學生對基本定理的記憶和靈活運用．