Question

在△ABC中，sin（C-3）=1，sinB=

1

3

•
（Ⅰ）求SinA的值；
（Ⅱ）設AC=

6

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據已知求得A和C的關系，進而根據三角形內角和求得A和B的關系式，進而利用正弦的兩角和公式取得sinA的值．
（Ⅱ）根據正弦定理求得BC的值，進而根據正弦的兩角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin（C-A）=1，
∴C-A=

π

2

，
∵C+A=π-B，
∴A=

π

4

-

B

2

，
∴sinA=sin（

π

4

-

B

2

）=

2

2

（cos

B

2

-sin

B

2

），
∴sin2A=

1

2

（1-sinB）=

1

3

，
∵sinA＞0，
∴sinA=

3

3

．
（Ⅱ）由正弦定理知

AC

sinB

=

BC

sinA

，
∴BC=

ACsinA

sinB

=3

2

，
∵C-A=

π

2

，
∴A，B均為銳角，
∴cosA=

1- 1 3

=

6

3

，cosB=

1- 1 9

=

2 2

3

∵sinC=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×

2 2

3

+

6

3

×

1

3

=

6

3

，
∴三角形面積S=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

．

點評：本題主要考查了正弦定理的運用．要求學生對正弦定理和余弦定理的公式及變形公式熟記于心．