Question

已知函數f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，研究函數f（x）的基本性質并給出證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：化簡f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，由分母不為0，和指數函數的值域，運用奇偶性的定義和單調性的定義，注意解題步驟，即可得到．

解答： 解：函數f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，
則由e^2x-1≠0，解得，x≠0，定義域為{x|x≠0}，
由e^2x=

1+y

y-1

＞0，解得，y＞1或y＜-1．即值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
由于f（-x）=

e-2x+1

e-2x-1

=

1+e2x

1-e2x

=-f（x），則f（x）為奇函數；
由于令0＜m＜n，則f（m）-f（n）=1+

2

e2m-1

-（1+

2

e2n-1

）
=

2(e2n-e2m)

(e2m-1)(e2n-1)

，由于0＜m＜n，則e^2m-1＞0，e²ⁿ-1＞0，e²ⁿ＞e^2m，
則有f（m）-f（n）＞0，f（x）在x＞0上遞減，
再由奇函數，可得f（x）在x＜0上遞減，
故f（x）在（0，+∞），（-∞，0）遞減．

點評：本題考查函數的定義域和值域、單調性和奇偶性的判斷和證明，注意運用定義，考查運算能力，屬于基礎題．