Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4，過點的直線交橢圓于點
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）或

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先利用離心率列出表達式找到與的關系，又因為橢圓上的點到點的距離最大值為4，利用兩點間距離公式列出表達式，因為在橢圓上，所以，代入表達式，利用配方 法求最大值，從而求出，所以，所以得到橢圓的標準方程；第二問，先設點坐標，由題意設出直線方程，因為直線與橢圓相交，列出方程組，消參韋達定理得到兩根之和、兩根之積，用坐標表示得出，由于點在橢圓上，得到一個表達式，再由，得到一個表達式，2個表達式聯立，得到的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）∵∴         （1分）
則橢圓方程為即
設則


當時，有最大值為
解得∴，橢圓方程是       （4分）
（Ⅱ）設方程為
由   整理得.
由，得.
              （6分）
∴  則,

由點P在橢圓上，得化簡得① （8分）
又由即將，代入得
     化簡，得
則,   ∴②     （10分）
由①，得
聯立②，解得∴或     （12分）
考點：1.橢圓的標準方程；2.兩點間的距離公式；3.配方法求函數最值；4.韋達定理.