Question

（選修4-2：矩陣與變換）
設矩陣M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，且縱坐標伸長到原來4倍的伸壓變換，求橢圓

x2

9

+

y2

16

=1在M^-1的作用下得到的新曲線的方程．

Answer 1

分析：根據題意，矩陣M^-1對應的變換將坐標平面上的點的橫坐標收縮到原來的

1

3

倍，且縱坐標收縮到原來

1

4

倍．由此設 P（m，n）是已知橢圓上一點，在M^-1的作用下P點變為P'（x，y），得到用x、y表示P的坐標的式子并代入橢圓方程，化簡即可得到所求新曲線的方程．

解答：解：∵矩陣M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，且縱坐標伸長到原來4倍的伸壓變換，
∴矩陣M^-1對應的變換是矩陣M對應變換的逆變換，
可得M^-1是將坐標平面上的點的橫坐標收縮到原來的

1

3

倍，且縱坐標收縮到原來

1

4

倍的伸壓變換
因此，設P（m，n）是橢圓

x2

9

+

y2

16

=1上一點，在M^-1的作用下P點變為P'（x，y）在新曲線上
∵

x= 1 3 m y= 1 4 n

，∴

m=3x n=4y

，得P（3x，4y）
∵P（3x，4y）是橢圓

x2

9

+

y2

16

=1上一點，
∴

(3x)2

9

+

(4y)2

16

=1，化簡得x²+y²=1，即為所求新曲線的方程．

點評：本題給出矩陣變換，求已知橢圓在矩陣M^-1對應的變換下所得新曲線的方程，著重考查了曲線與方程、矩陣變換等知識點，屬于中檔題．