Question

如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．PA=PD=AD=2，點M在線段PC上 PM=

1

3

PC
（1）證明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

Answer 1

分析：（1）證明線面平行，關鍵是利用線面平行的判定定理，只要證明PA平行于平面內的一條直線；
（2）證明MN⊥BQ，BC⊥BQ，MN∥PA，BC∥DA，從而空間角M-BQ-C 可以變成∠PAD=60°，故可求二面角M-BQ-C的平面角．

解答：（1）證明：連接AC交BQ于N，連接MN
因為 AQ∥BC，所以△ANQ∽△BNC
∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

，∴

AN

AC

=

1

3

∵PM=

1

3

PC，∴PA∥MN
∵PA?平面MQB，MN?平面MQB
∴PA∥平面MQB
（2）解：因為BQ⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以BQ⊥PA
因為PA∥MN 所以MN⊥BQ
又因為 BC∥AD 而 BQ⊥DA，所以BC⊥BQ
因為MN∥PA，BC∥DA，MN⊥BQ，BC⊥BQ
∴空間角M-BQ-C的平面角等于∠PAD，
∵∠PAD=60°
∴二面角M-BQ-C的平面角為60°．

點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是利用線面平行的判定，理解面面角的定義，屬于中檔題．