Question

已知橢圓C： 的離心率為，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為6.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0,1)，且滿(mǎn)足PA＝PB，求直線(xiàn)的方程．

Answer 1

解　(1)由已知2a＝6，＝，解得a＝3，c＝，所以b²＝a²－c²＝3，故橢圓C的方程為＋＝1。
(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則AB的中點(diǎn)為E.
由得(1＋3k²)x²－12kx＋3＝0，∵直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴Δ＝144k²－12(1＋3k²)>0，解得k²>.且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
而y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－4＝k·－4＝－，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為.
∵PA＝PB，∴PE⊥AB，k_PE·k_AB＝－1.∴·k＝－1.解得k＝±1，滿(mǎn)足k²>，
∴直線(xiàn)l的方程為x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.

略