Question

【題目】某工廠生產了一批高精尖的儀器，為確保儀器的可靠性，工廠安排了一批專家檢測儀器的可靠性，毎臺儀器被毎位專家評議為“可靠”的概率均為，且每臺儀器是否可靠相互獨立．

（1）當，現抽取4臺儀器，安排一位專家進行檢測，記檢測結果可靠的儀器臺數為，求的分布列和數學期望；

（2）為進一步提高出廠儀器的可靠性，工廠決定每臺儀器都由三位專家進行檢測，只有三位專家都檢驗儀器可靠，則儀器通過檢測．若三位專家檢測結果都為不可靠，則儀器報廢．其余情況，儀器需要回廠返修．擬定每臺儀器檢測費用為100元，若回廠返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費．現以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，工廠預算3.3萬元用于檢測和維修，問費用是否有可能會超過預算？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，數學期望；（2）不會超過預算，理由詳見解析．

【解析】

（1）該事件滿足二項分布，由其概率計算公式分別計算隨機變量為，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np計算均值；

（2）設每臺儀器所需費為X元，則X的可能取值為100，400，為100時，即都通過或都不通過，即可計算，再由對立事件概率計算方式求得，即可表示一臺儀器花費的數學期望函數，利用導數求得最值，即可判定.

（1）題意知的所有可能取值為，，，，4，

且服從參數為的二項分布，

所以

，

，

，

，

．

故 的分布列為 ：

X	0	1	2	3	4
P

從而．

（2）設每臺儀器所需費為X元，則X的可能取值為100，400．

，．

所以=，

化簡得，

令，

，解得，

當，，在單調遞增，

當，，在單調遞減，

所以當時，的最大值為．

實施此方案，最高費用為元33000元，不會超過預算．