Question

已知點(diǎn)A（4，1）、B（0，4），點(diǎn)P在直線l：x+y+1=0上移動(dòng)，求||PA|-|PB||取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)及這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：由已知得當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到直線x+y+1=0與直線AB的交點(diǎn)p′處時(shí)，||PA|-|PB||取最大值5，由此能求出當(dāng)P（-20，19）時(shí)，||PA|-|PB||的最大值5．

解答： 解：∵A（4，1）、B（0，4），
∴|AB|=

(4-0)2+(1-4)2

=5，
如圖，||PA|-|PB||＜|P′A|-|P′B|=|AB|=5，
即當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到直線x+y+1=0與直線AB的交點(diǎn)p′處時(shí)，
||PA|-|PB||取最大值5，
由A（4，1），B（0，4）得直線AB：3x+4y-16=0，
聯(lián)立

3x+4y-16=0 x+y+1=0

，得

x=-20 y=19

，
∴當(dāng)P（-20，19）時(shí)，||PA|-|PB||的最大值5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩線段之差的絕對(duì)值的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．