Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且ABDC，，平面平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先利用面面垂直的性質定理可得平面，進而得到平面，再根據面面垂直的判定定理得證；

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，利用向量公式求解即可．

解：（Ⅰ）證明：∵平面平面，平面平面，，在平面內，

∴平面，

又∵，

∴平面，

而在平面內，

∴平面平面；

（Ⅱ）作于，則平面，過作交于，

如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則，，，，

故，，，

設平面的一個法向量為，則，

則可取，

設平面的一個法向量為，則，

則可取，

∴，

由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為．