Question

【題目】已知數列{an} 為等比數列，等差數列{bn} 的前n 項和為Sn （n∈N* ），且滿足：S13=208，S9﹣S7=41，a1=b2 ， a3=b3 ．
（1）求數列{an}，{bn} 的通項公式；
（2）設Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （n∈N* ），求Tn；
（3）設cn= ，問是否存在正整數m，使得cmcm+1cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：等差數列{bn} 的前n 項和為Sn （n∈N* ），且滿足：S13=208，S9﹣S7=41，

即

解得b7=16，公差為3

∴b1=﹣2，bn=3n﹣5，

∵a1=b2=1，a3=b3=4，數列{an} 為等比數列，

∴an=2n﹣1，n∈N*

（2）解：Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+（3n﹣5）2n﹣1，①

∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+（3n﹣5）2n，②

①﹣①得Tn=﹣2+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣5）2n=3×（2n﹣2）﹣（3n﹣5）2n=（8﹣3n）2n﹣8，

∴Tn=（3n﹣8）2n+8，n∈N*

（3）解：∵設cn= ，

當m=1時，c1c2c3+8=1×1×4+8=12，3（c1+c2+c3）=18，不相等，

當m=2時，c2c3c4+8=1×4×7+8=36，3（c2+c3+c4）=36，成立，

當m≥3且為奇數時，cm，cm+2為偶數，cm+1為奇數，

∴cmcm+1cm+2+8為偶數，3（cm+cm+1+cm+2）為奇數，不成立，

當m≥4且為偶數時，若cmcm+1cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2），

則（3m﹣5）2m（3m+1）+8=3（3m﹣5+2m+3m+1），

即（9m2﹣12m﹣8）2m=18m﹣20，（*）

∵（9m2﹣12m﹣8）2m≥（9m2﹣12m﹣8）24＞18m﹣20，

∴（*）不成立，

綜上所述m=2．

【解析】（1）根據等差數列的前n項公式和S9﹣S7=41，即可求出an ． 再利用a1=b2 ， a3=b3 ， 可知公比，進而可得{bn} 的通項公式；（2）通過錯位相減法即可求出前n項和，（3）分類討論，計算即得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．