Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形， 為等腰三角形， ，平面平面，且， ， 分別為的中點.

（1）證明： 平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2) 見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）EF∥平面PAD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PAD內一直線平行，連AC，根據中位線可知EF∥PA，EF平面PAD，PA平面PAD，滿足定理所需條件；

（2平面PAD⊥平面ABCD，根據面面垂直的判定定理可知在平面ABCD內一直線與平面PAD垂直，根據面面垂直的性質定理可知CD⊥平面PAD，又CD平面ABCD，滿足定理所需條件；

（3）過P作PO⊥AD于O，從而PO⊥平面ABCD，即為四棱錐的高，最后根據棱錐的體積公式求出所求即可．

解：(1)如圖所示，

連接. ∵四邊形為矩形，且為的中點,

∴也是的中點. 又是的中點， ,

∵平面， 平面.平面

(2) 證明：∵平面平面， ，平面平面，

∴平面. ∵平面，∴平面平面.

(3)取的中點，連接. ∵平面平面， 為等腰三角形，

∴平面，即為四棱錐的高. ∵，∴. 又，

∴四棱錐的體積.