Question

對于函數f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．
下列函數：
①f(x)=

1

x

；
②f（x）=sinx；
③f(x)=

x2-1

；
④f（x）=x³+1．
其中[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數的序號是______（填上所有正確答案的序號）

Answer 1

對于①，當x∈[1，+∞）時，0＜

1

x

≤1，故在[1，+∞）有一個寬度為1的通道，兩條直線可取y=0，y=1；
對于②，當x∈[1，+∞）時，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
對于③，當x∈[1，+∞）時，f(x)=

x2-1

表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-2，滿足在[1，+∞）有一個寬度為1的通道；
對于④，當x∈[1，+∞）時，f（x）∈[2，+∞），故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
故答案為：①③