Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax﹣cosx，a≠0．

（1）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若x∈[0，2π]，求：當(dāng)a≥時(shí)，函數(shù)f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）或（2）詳見解析

【解析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)恒成立，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，恒成立；（2）根據(jù)（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，根據(jù)單調(diào)性可判斷，是極大值，是極小值，因?yàn)?/span>，，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需滿足，即可求得的取值范圍.

（1）解：由，可得,.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，為上的單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為上的單調(diào)減函數(shù).

綜上，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則或.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可知為上的單調(diào)增函數(shù).

又，

所以函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.

當(dāng)時(shí)，

令，則.由于，所以，

從而必有，，使，且.

不妨設(shè)，且有，，

所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).

從而函數(shù)的極大值為，極小值為.

因?yàn)?/span>，所以，從而極大值.

又，

要使函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則極小值，

所以，即.

又，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn).