Question

【題目】已知圓，圓．

（1）過的直線截圓所得的弦長為，求該直線的斜率；

（2）動圓同時平分圓與圓的周長．

①求動圓圓心的軌跡方程；

②問動圓是否過定點，若經過，則求定點坐標；若不經過，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①，②.

【解析】

試題（1）設出直線的方程，根據勾股定理和弦長得到圓心到直線的距離為，利用點到直線的距離公式即得直線斜率的值；（2）①由于圓與圓半徑相等，要使得圓都平分它們，必有，知在的中垂線上，求的垂直平分線方程即得點的軌跡；②根據的軌跡方程設出的坐標，由勾股定理得，從而得到圓的方程，分離參數，解方程組即得圓經過的定點.

試題解析：（1）設直線為，由弦長可得圓心到直線的距離為，

點到直線的距離為，化簡得：，

解得，或

（2）①作出圖形可證，知在的中垂線上，求得，

②設，作出圖形知，

圓的方程：

，

得兩個定點為，