Question

已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，斜率為2的直線l交拋物線于A、B兩點，且|AB|=5．
（1）求此拋物線方程；
（2）若M（1，2）是拋物線上一點，求

MA

 • 

MB

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,函數的零點,平面向量數量積的運算,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出拋物線的焦點坐標，寫出直線方程，與拋物線聯立，利用弦長公式求出寫出，即可求此拋物線方程；
（2）利用（1）消元后的方程，通過韋達定理，結合

MA

 • 

MB

的坐標表示即可求解數量積的值．

解答： 解：（1）因焦點F(

p

2

， 0)，所以直線l的方程為y=2(x-

p

2

)
由

y=2(x- p 2 ) y2=2px

消去y得4x²-6px+p²=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

3p

2

，
∴|AB| =x1+x2+p=

5p

2

=5，∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．（6分）
（2）方程①化為 x²-3x+1=0∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
直線l的方程為y=2x-2，
∴

MA

 • 

MB

=(x1-1，y1-2)(x2-1，y2-2)
=（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）
=（x₁-1）（x₂-1）+（2x₁-4）（2x₂-4）
=5x₁x₂-9（x₁+x₂）+17
=5-27+17
=-5（12分）

點評：本題考查拋物線與直線方程的綜合應用，寫出公式的求法，向量的數量積的求法，考查轉化思想以及計算能力．