Question

已知正項等比數列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m，a_n使得

aman

=2a1，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等比數列的性質,基本不等式

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：把所給的數列的三項之間的關系，寫出用第五項和公比來表示的形式，求出公比的值，整理所給的條件，寫出m，n之間的關系，用基本不等式得到最小值．

解答： 解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項a_m，a_n使得

aman

=2a1，
∴a_ma_n=4a₁²，
∴q^m+n-2=4，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

4

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

4

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

9

4

，
故答案為：

9

4

．

點評：本題考查等比數列的通項和基本不等式，實際上應用基本不等式是本題的重點和難點，注意當兩個數字的和是定值，要求兩個變量的倒數之和的最小值時，要乘以兩個數字之和．