Question

（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，已知，
，.
（Ⅰ）求直線與底面所成角正切值；
（Ⅱ）在棱（不包含端點）上確定一點的位置，
使得（要求說明理由）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅱ）當E為中點時，.
 ，
，即. -----------------------------------   6´ 
又，.
，，. --- 9´
（Ⅲ）取的中點，的中點，則∥，且，
,連結，設，連結，
則∥，且，
為二面角的平面角.  ---------------------------  12´
， ， 
∴二面角的大小為45°.   -----------------------------  15´
另解：以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.
則.  - -------------------------  2´
（Ⅰ），面的一個法向量.
設與面所成角為，則 .-- 5´
（Ⅱ）設，，則，,
由，得，所以為的中點.  -------  9´
（Ⅲ）由，得，，又,
可求得面的一個法向量，
面的一個法向量,----------------------------------- 12´
設二面角的大小為，則.----------- 14´
∴二面角的大小為45°.     -----------------------------  15´

略