Question

已知A，B是拋物線x²=2py（p＞0）上的兩點，F為拋物線的焦點，l為拋物線的準線．
（1）若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；
（2）若

OA

•

OB

+p2=0（A、B異于原點），直線OB與過A且垂直于X軸的直線m相交于P點，求P點軌跡方程；
（3）若直線AB過拋物線的焦點，分別過A、B點的拋物線的切線相交于點T，求證：

AT

•

BT

=0，并且點T在l上．

Answer 1

分析：（ 1）由題，可設A（x₁，y₁），求導得y′=

x

p

，由點斜式可得過A點的拋物線的切線為y-y1=

x1

p

(x-x1)，再令x=0解出它與Y軸交點的坐標，由拋物線的性質解出|AF|與|CF|的長度，比較即可證明出結論；
（2）可先設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．代入

OA

•

OB

+p2=0結合拋物線x²=2py（p＞0）得出x₁x₂=-2p²．再表示出直線OB的方程：y=

y2

x2

x=

x2

2p

x

，(1)

，直線m的方程：x=x1

(2)

，兩者聯立，解出P點的軌跡方程；
（3）可設T（x₀，y₀）．由題意，求導可得出kAT=

x1

p

，kBT=

x2

p

．由于AB是焦點弦，可設AB的方程為y=kx+

p

2

，代入x²=2py（p＞0）得：x²-2pkx-p²=0，由根與系數的關系得x₁x₂=-p²，于是k_AT•k_BT=-1，故AT⊥BT．由此得

AT

•

BT

=0，再由點T在直線AT，BT上，由同一性即可得點T在l上

解答：證明：（ 1）設A（x₁，y₁），因y′=

x

p

，則過A點的拋物線的切線為y-y1=

x1

p

(x-x1)，
令x=0，得yc=y1-

x 2 1

p

=-y1，所以|CF|=

p

2

-(-y1)=

p

2

+y1，
由定義知|AF|等于點A的拋物線的準線y=-

p

2

的距離，即|AF|=y1-(-

p

2

)=

p

2

+y1．所以|AF|=|CF|．    …（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
因為 

OA

•

OB

+p2=0，所以x₁x₂+y₁y₂+p²=0，x1x2+

x 2 1 x 2 2

4p2

+p2=0，(

x1 x   2

2p

+p)2=0，即x₁x₂=-2p²．
直線OB的方程：y=

y2

x2

x=

x2

2p

x

，(1)

，直線m的方程：x=x1

(2)

，
（1）×（2）得  xy=

x1x2

2p

x⇒xy+px=0，又x≠0，∴y=-p．即P點軌跡方程為y=-p．…（8分）
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），T（x₀，y₀）．則kAT=

x1

p

，kBT=

x2

p

．
由于AB是焦點弦，可設AB的方程為y=kx+

p

2

，代入x²=2py（p＞0）得：x²-2pkx-p²=0，
∴x₁x₂=-p²，于是k_AT•k_BT=-1，故AT⊥BT．
由（1）知，AT的方程：y=

x1

p

x-y1，∴y0=

x1

p

x0-y1，即x₀x₁-py₁=py₀，同理：x₀x₂-py₂=py₀．
∴AB的方程為x₀x-py=py₀，又∵AB過焦點，∴-

p2

2

=py0，即y0=-

p

2

，故T點在準線l上．…（12分）

點評：本小題主要考查直線及圓錐曲線，考查方程的思想及解析幾何的基本思想，考查運算能力和綜合解題的能力．