Question

已知A，B是拋物線y²=2px（p＞0）上兩點，O為坐標原點，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點，則直線AB的方程是（　　）

• A．x=p
• B．x=3p
• C．x=

  3

  2

  p
• D．x=

  5

  2

  p

Answer 1

分析：由拋物線的對稱性知A、B關于x軸對稱，設出它們的坐標，利用三角形的垂心的性質，結合斜率之積等于-1，求出A、B坐標即可解決．

解答：解：由A、B是拋物線y²=2px（p＞0）的兩點，|AO|=|BO|，
及拋物線的對稱性知，A、B關于x軸對稱．
設直線AB的方程是 x=m，則  A（ m，

2pm

）、B（m，-

2pm

）
|△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點F（

p

2

，0 ）
∴AF⊥OB，K_AF•K_OB=-1，
∴

2pm -0

m- p 2

•

- 2pm -0

m-0

=-1
∴m=

5p

2

，∴直線AB的方程是 x=

5p

2

故選D．

點評：本小題主要考查拋物線的簡單性質、三角形垂心性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想與轉化思想．屬于基礎題．