Question

（2009•青浦區二模）（文）已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l₁、l₂相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x₀，0）．若x₀＞2，試用x₀表示線段AB中點的橫坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題意將直線l₁，直線l₂，分別與拋物線方程聯立，求得點A，B的坐標，再利用斜率公式可求斜率；
（2）推廣：已知拋物線y²=2px上有一定點P，過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．再利用（1）的方法求得點A，B的坐標，從而利用斜率公式可求斜率；
（3）先求出線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線的方程，再確定其線段AB中點的橫坐標．

解答：解：（1）由

x+y-8=0 y2=4x.

解得A（16，-8）；由

x+y=0 y2=4x.

解得B（0，0）．
由點斜式寫出兩條直線l₁、l₂的方程，l₁：x+y-8=0；l₂：x-y=0，所以直線AB的斜率為-

1

2

． …（4分）
（2）推廣：已知拋物線y²=2px上有一定點P，過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
過點P（x₀，y₀），斜率互為相反數的直線可設為y=k（x-x₀）+y₀，y=k（x-x₀）+y₀，其中y₀²=2px₀．
由

y=k(x-x0)+y0 y2=2px

得ky²-2py+2py₀-ky₀²=0，所以A(

( 2p k -y0)2

2p

，

2p

k

-y0)
同理，把上式中k換成-k得B(

( 2p k +y0)2

2p

，-

2p

k

-y0)，所以
當P為原點時直線AB的斜率不存在，當P不為原點時直線AB的斜率為-

p

y0

．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i²=4x_i（i=1，2）．               …（13分）
設線段AB的中點是M（x_m，y_m），斜率為k，則k=

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=

2

ym

，…（15分）
線段AB的垂直平分線l的方程為y-ym=-

ym

2

(x-xm)，…（17分）
又點Q（x₀，0）在直線l上，所以-ym=-

ym

2

(x0-xm)，
而y_m≠0，于是x_m=x₀-2．故線段AB中點的橫坐標為x₀-2．   …（18分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查直線與拋物線的位置關系，考查斜率公式，有較強的綜合性