Question

【題目】如圖，墻上有一壁畫，最高點A離地面4米，最低點B離地面2米．觀察者從距離墻x（x＞1）米，離地面高a（1≤a≤2）米的C處觀賞該壁畫，設觀賞視角∠ACB=θ．

（1）若a=1.5，問：觀察者離墻多遠時，視角θ最大？
（2）若tanθ= ，當a變化時，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，作CD⊥AF于D，則CD=EF，

設∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，則θ=α﹣β，

在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα= ，tanβ= ，

則tanθ=tan（α﹣β）= = （x＞0），

令u= ，則ux2﹣2x+1.25u=0，

∵上述方程有大于0的實數根，∴△≥0，

即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤ ，即（tanθ）max= ，

∵正切函數y=tanx在（0， ）上是增函數，

∴視角θ同時取得最大值，

此時，x= = ，

∴觀察者離墻 米遠時，視角θ最大

（2）解：由（1）可知，tanθ= = = ，

即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，

∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，

∵1≤a≤2，

∴1≤（x﹣2）2≤4，

化簡得：0≤x≤1或3≤x≤4，

又∵x＞1，

∴3≤x≤4．

【解析】（1）首項利用兩角和的正切公式建立函數關系，進一步利用判別式確定函數的最大值；（2）利用兩角和的正切公式建立函數關系，利用a的取值范圍即可確定x的范圍．