Question

【題目】設函數y＝f（x）的定義域為R，并且滿足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（）＝1，當x＞0時，f（x）＞0．

（1）求f（0）的值；

（2）判斷函數的奇偶性；

（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0（2）奇函數 （3）

【解析】

1）函數y＝f（x）的定義域為R，賦值令x＝y＝0，則可求f（0）的值；

（2）令y＝﹣x，結合f（0）的值，可得結論；

（3）利用單調性的定義，結合足f（x+y）＝f（x）+f（y），可得函數的單調性，進而將抽象不等式轉化為具體不等式，即可求解．

（1）∵函數y＝f（x）的定義域為R，

令x＝y＝0，則f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0；

（2）令y＝﹣x，得 f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），故函數f（x）是R上的奇函數；

（3）f（x）是R上的增函數，證明如下：

任取x1，x2∈R，x1＜x2，則x2﹣x1＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＞0

∴f（x1）＜f（x2）

故f（x）是R上的增函數．

由f（）＝1，

∴f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2

那么f（x）+f（2+x）＜2，可得f（2+2x）＜f（）

∵f（x）是R上的增函數．

∴2+2x，

解得：x，

故得x的取值范圍是（﹣∞，）.