Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）若，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（寫(xiě)出必要的過(guò)程，不必證明）；

（3）若存在，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在遞增，遞減，遞增；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，即可求解；

（2）求出函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解；

（3）當(dāng)時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值，即可求解.

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)

作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)最大值為.

（2）由函數(shù)

①當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以，

所以函數(shù)在遞增，遞減；

綜上可得，函數(shù)在遞增，遞減，遞增.

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，遞增，遞減，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

即，

令，則函數(shù)在上是增函數(shù)，故，

所以，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是.