Question

【題目】如圖，在平面直角系中，點A為曲線C：在第一象限的圖象上的動點，點E，G在曲線C的準線上，且點G在x軸的下方，圓O與準線相切，直線交曲線C于點B，交圓O于點D，H.

（1）當點H為曲線C的焦點，時，求；

（2）當點O為的內心時，若，求點A的坐標.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

(1)首先由準線方程可得拋物線方程，根據圓的弦長可得直線AG的方程，聯立直線AG與拋物線，結合焦半徑公式即可求解；(2)根據直線AE,AG與圓相切，結合圓心到直線的距離等于半徑，構造二次方程的兩根為，結合韋達定理即可建立等量關系，可求出點A的坐標.

（1）∵曲線C的準線為，∴，即，

∴曲線C的方程為.

∴此時，即.

過點O作于點K，則點K為弦的中點.

∵，∴.

在中，，

∴，即直線的斜率為1，

∴直線的方程為.

設點，.

聯立消去y，

得，

由韋達定理得，

∴.

（2）當點O為的內心時，點D與點H重合，即直線與圓O相切.

設，，，易知，，.

直線的方程為，

化簡得.

又圓心到的距離為1，

即，

∴，

化簡得，

同理有.

∴，，∵，

∴.

∴，解得或（舍），∴.