Question

【題目】已知正項數列滿的前項和為，且滿足.數列滿足，.

（1）求數列、的通項公式；

（2）記數列滿足設數列的前項和為，數列的前項和為，試比較與的大小

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時，；當時.

【解析】

(1)利用數列的前項和與通項的關系可得或，再分情況討論，并結合等差數列的證明求解即可.

(2)代入、的通項公式可得，再錯位相減可得，裂項相消可得，再利用作差法比較大小即可.

解：(1)數列各項均為正數，由于，

當時，，，解得：

當時，作差可得：

即﹐所以或，

即或

①當時，由于所以不合題意，舍去；

②當時，為等差數列，所以即，

由于，所以是公比為2的等比數列，，

解得，所以，即

（2）因為

所以，，所以

兩式作差可得：

，

所以，，

，

要比較與的大小，只需比較與與的大小，

經檢驗，當時，即，

當時，

此時，，即，

綜上所述，當時，﹔當時